A Descoberta de Hamilton
No dia 16 de outubro de 1843, o matemático irlandês William Rowan Hamilton teve um momento revelador enquanto caminhava ao longo do Royal Canal, em Dublin. Ele se empolgou tanto com sua descoberta que, usando um canivete, gravou em uma pedra da Broome Bridge a fórmula que mudaria a forma como os matemáticos representam informações:
i² = j² = k² = ijk = –1
Embora a princípio pareça simples, essa equação teve profundas implicações, simplificando aplicações técnicas importantes, como o cálculo de forças em estruturas, mecanismos de busca e até a orientação de veículos espaciais.
Objetos em Rotações
Hamilton buscava resolver o desafio de representar relações entre diferentes direções no espaço tridimensional. A direção é fundamental ao descrever forças e velocidades, mas ele também queria entender as rotações em 3D. Na época, os matemáticos já utilizavam coordenadas (x, y, z) para representar a posição de um objeto. No entanto, a manipulação dessas coordenadas durante a rotação era complexa.
Inspirando-se nos números complexos, que possuem uma parte real e uma parte imaginária, Hamilton buscou um método mais simples. O número imaginário i é definido pela equação i² = -1. Vários matemáticos do século XIX, como Jean Argand e John Warren, já tinham estabelecido maneiras de representar números complexos como pontos em um plano, utilizar o que Hamilton chamaria de números complexos quadridimensionais para trabalhar em 3D se tornou uma nova meta.
Os Quaterniões
Hamilton deu o nome de quaterniões a esses números 4D, utilizando-os para calcular rotações no espaço tridimensional. O uso desses quaterniões é fundamental em várias tecnologias modernas, como robótica e orientação de satélites. A parte mais interessante de seu trabalho é que ele transformou esses quaterniões em vetores, que combinam informações sobre magnitude e direção de uma força ou velocidade.
A representação de um vetor é feita, por exemplo, por uma seta apontando da origem para a localização de um objeto, expressa como:
x i + y j + z k
A Análise Vetorial Moderna
Embora Oliver Heaviside tenha contribuído para a análise vetorial moderna substituindo a notação imaginária de Hamilton por vetores reais, a essência dos vetores, como delimitados por Hamilton, permaneceu. Ele criou duas formas de multiplicar vetores: uma resultando em um número (produto escalar) e outra em um vetor (produto vetorial).
Essas operações são amplamente utilizadas em diversas aplicações, incluindo a fórmula da força eletromagnética que possibilita o funcionamento de dispositivos eletrônicos.
Unificando Conceitos Matemáticos
Apesar de que outros matemáticos, como Olinde Rodrigues, já estavam desenvolvendo conceitos similares, foi Hamilton quem unificou as diversas partes em um único objeto matemático: o vetor. Além disso, ele formou uma notação compacta que facilitou a representação matemática de quantidades físicas no espaço 3D, influenciando diretamente a construção de equações complexas.
Um exemplo da notação vetorial de Hamilton pode ser visto nas equações de James Clerk Maxwell, que ligam os campos elétrico e magnético:
∇ × E = –∂B/∂t
Essa compactação, que utiliza poucos símbolos, seria impossível sem o trabalho de Hamilton e suas inovações matemáticas.
Legado de Hamilton
Infelizmente, Hamilton não viveu para ver suas ideias se tornarem amplamente reconhecidas. Solidarizava-se com os desafios que enfrentava e mantinha uma expectativa genuína de que suas descobertas seriam valorizadas com o tempo. Atualmente, seu legado é palpável, com os vetores sendo amplamente utilizados em diversas áreas, fazendo parte da tecnologia que usamos diariamente.
Em 16 de outubro, os admiradores da matemática celebram o Hamilton Day, relembrando a caminhada que levou à sua importante descoberta. Na contemporaneidade, ainda nos beneficiamos das aplicações tecnológicas resultantes daquela gravação aparentemente simples.
